Był synem Józefa i Agnieszki z d. Nowak. Rodzina była liczna, głęboko religijna i przeniknięta duchem patriotycznym. Mając sześć lat został sierotą. Opiekowała się nim starsza siostra. W szkole uczył się dobrze. W 1924 wstąpił do pallotyńskiego gimnazjum w Wadowicach. Był chłopcem zawsze uprzejmym, prostolinijnym, koleżeńskim i odważnym.
Po maturze rozpoczął nowicjat u Pallotynów w Sucharach na Pomorzu. Studia filozoficzne i teologiczne odbył w wyższym seminarium pallotyńskim w Ołtarzewie. Po wybuchu wojny uciekał z innymi klerykami na tereny wschodnie, gdzie został aresztowany przez władze sowieckie. Udało mu się zbiec i przez rodzinną wioskę wrócić do Ołtarzewa, żeby kontynuować studia.
Święcenia kapłańskie otrzymał 7 IV 1941 w katedrze w Warszawie z rąk abpa Stanisława Galla. 13 IV udało mu się odprawić mszę prymicyjną w swojej rodzinnej miejscowości, skąd musiał szybko uchodzić do Warszawy.
Po ukończeniu teologii rozpoczął studia socjologii na tajnych kompletach UW. Działał w konspiracji jako kapelan AK. Mieszkał w Ołtarzewie i stamtąd przewoził żywność dla głodujących mieszkańców Warszawy. 1 VIII 1944 znajdował się w Warszawie w Zakładzie Sióstr Rodziny Maryi na Koszykach przy ul. Hożej, gdzie pracował jako duszpasterz i kapelan pobliskich szpitali. 15 VIII 1944 przełożeni wojskowi skierowali go do pracy kapelańskiej i duszpasterskiej w zgrupowaniu AK „Kryska”, działającym na odcinku Czerniakowskiego Powiśla. Osiadł przy dowództwie na Czerniakowie, na ul. Wilanowskiej. Ks. Józef został naczelnym kapelanem tego zgrupowania i sanitariuszem powstańczym, przybierając ps. Rudy.
Podczas pacyfikacji Przyczółka Czerniakowskiego dla ratowania innych podjął rolę parlamentariusza w rozmowach z Niemcami i został zatrzymany przez nich jako zakładnik na ul. Wilanowskiej 11/13. Przed kapitulacją kazał powstańcom zniszczyć broń, przyjmując na siebie wszystkie konsekwencje tej decyzji (22 IX).
Po uprzednich szykanach (szyderstwa i bicie pięściami po twarzy) został powieszony przez hitlerowców 23 IX 1944 na zapleczu magazynów „Społem” przy ul. Solec, na żelaznej belce wystającej z muru, w pobliżu dawnych posesji nr 53 i 55.
Na miejsce stracenia szedł spokojnie, popychany brutalnie przez oprawców. Kazali mu zdjąć opaskę AK, lecz on odmówił. Świadom tego, co go czeka, stał spokojnie, błogosławił jeszcze spod szubienicy żołnierzy i ludność cywilną. Męczeńskiej śmierci towarzyszyły okrzyki oprawców. Powieszono go rano o 6.30, ubranego w sutannę, bez butów, które mu zdjęto przed egzekucją. Zginął przy domu śmierci, gdyż Niemcy wystrzelali lub powiesili wszystkich jego mieszkańców (ok. 200 osób).
Temu widowisku musieli przyglądać się ściągnięci przez Niemców powstańcy i mieszkańcy pobliskich domów. Obok niego powieszono dwie sanitariuszki z AK. Po śmierci wisiał jeszcze jakiś czas na szubienicy. Z szyderstwem pokazywali go Niemcy ludności polskiej pędzonej z Czerniakowa do obozu w Pruszkowie, jako „Głównego bandytę powstania. W ten sposób hitlerowcy, wbrew własnej woli, zorganizowali jakby pierwsze pielgrzymki oddające hołd temu, który wzorem Jezusa »umiłował do końca«, oddając życie za drugich”. J. Hance, żołnierz Szarych Szeregów, napisał: „Został zamordowany wspaniały człowiek, o nieocenionych wartościach duchowych i humanistycznych. Był i jest wzorem do naśladowania. Wskazał nam, jak należy żyć, aby być w zgodzie z samym sobą, wobec własnego sumienia i innych ludzi. Pamięć o kpt. ks. »Rudym« w naszych sercach nigdy nie zginie”.
Zwłoki jego ekshumowano 14 IV 1945 i pochowano w mogile zbiorowej przy ul. Solec, a 4 III 1946 przeniesiono je na cmentarz wojskowy na Powązkach. Podczas ekshumacji stwierdzono, że zwłoki zachowały się na tyle, że można było je rozpoznać. Były pochowane w sutannie, a w jej kieszeni znajdował się brewiarz. Na szyi zmarłego znaleziono odciśnięte ślady pętli. Szczątki złożono w trumnie i przewieziono do kościoła Pallotynów na Pradze, a po nabożeństwie żałobnym na Powązki.
Został beatyfikowany 13 VI 1999 w Warszawie przez pap. Jana Pawła II wraz z ks. Józefem Jankowskim SAC w gronie 108 Męczenników II Wojny Światowej.
Relikwie bł. ks. Józefa Stanka zostały 24 XI 2000 przeniesione z cmentarza Powązkowskiego do dolnego kościoła Chrystusa Króla w Warszawie. Uroczystości tej przewodniczył Józef kard. Glemp, a w wydarzeniu brali udział przedstawiciele Kościoła i państwa, pallotyni i pallotynki oraz krewni Błogosławionego.