Tadeusz Kościński urodził się w Londynie i tam pracował w sektorze bankowym. Po przeniesieniu się do Polski zatrudniony w Polskim Banku Rozwoju, Banku Przemysłowo-Handlowym oraz Banku Śląskim. Od 1997 piastował stanowisko dyrektora w Banku Zachodnim WBK. W tym ostatnim pracował także Mateusz Morawiecki więc można przypuszczać, że znają się od dawna i są kolegami.

Kościński pełnił także funkcje podsekretarza stanu kolejno w Ministerstwie Rozwoju (2015–2018), Ministerstwie Przedsiębiorczości i Technologii (2018–2019) oraz Ministerstwie Finansów (od 2019).