Eugeniusz Kulesza urodził się 8 marca 1891 r. w Warszawie. Początkowo uczęszczał do miejscowego Gimnazjum gen. Pawła Chrzanowskiego. Po wybuchu wojny światowej wyjechał wraz z rodziną do Rosji, gdzie kontynuował naukę i zdał maturę. Po powrocie do kraju studiował na Uniwersytecie Jagiellońskim w Krakowie, najpierw medycynę, następnie antropologię.

W 1915 r. wstąpił do odnowionego Zgromadzenia Księży Marianów na Bielanach w Warszawie i rozpoczął nowicjat. Rok później wyjechał na studia do szwajcarskiego Fryburga. Święcenia kapłańskie otrzymał w 1921 r. w kościele mariańskim w Raśnie koło Wysokiego Litewskiego. W 1924 r. obronił doktorat z teologii życia wewnętrznego, po czym powrócił do Polski.

Wkrótce ze względu na chorobę płuc udał się do Kuźnic pod Zakopanem. Leczył się też w Szwajcarii, Włoszech oraz Francji, na warszawskie Bielany powrócił w 1926 r. Pracował początkowo jako sekretarz szkoły. Od 1930 r. był wykładowcą i wychowawcą oraz spowiednikiem. W 1931 r. został wicedyrektorem kolegium, a po dwóch latach znowu spowiednikiem i wykładowcą. W 1936 r. został rektorem Kolegium Mariańskiego na Bielanach.

W 1938 r. przyjął urząd przełożonego domu zakonnego w Drui nad Dźwiną oraz dyrektora prowadzonego przez marianów Gimnazjum im. Króla Stefana Batorego. Rok później został dyrektorem gimnazjum w pobliskim Brasławiu.

Gdy po wybuchu II wojny światowej tereny te zostały zajęte przez Armię Czerwoną, a w grudniu 1939 r. wszystkie szkoły przejęły przez władze bolszewickie, skupił się pracy duszpasterskiej w Drui oraz w sąsiednich kościołach. Wspierał księży i zakonnice, organizował pomoc materialną dla wywiezionych na Sybir i do Kazachstanu.

Po agresji Niemiec na ZSRR w czerwcu 1941 r. władze sowieckie opuściły Druję. Miejscowa ludność poprosiła wówczas ks. Kuleszę, by stanął na czele obywatelskiego komitetu, który w ogarniętym chaosem mieście miał zaprowadzić porządek. Zgodził się.

30 czerwca 1941 r. grupa żołnierzy radzieckich przepłynęła Dźwinę i aresztowała kapłana. Samochód, którym był transportowany w kierunku Połocka, zepsuł się, więc zaprowadzono go do zabudowań, w których stacjonował sztab sowiecki. Jeszcze tego samego dnia został wyprowadzony na pobliskie pole i tam postrzelony, a następnie dobity pchnięciem bagnetu w głowę. Zwłoki oprawcy zasypali w dole.

Po kilku dniach, gdy do Drui wkroczyli Niemcy, ciało zamordowanego kapłana wydobyto i odwieziono do klasztoru marianów. Zmarłego ubrano w czerwony ornat jako męczennika. Jego pogrzeb zgromadził tłumy wiernych. Pochowano go w grobie przy świątyni.

Po wojnie bolszewicy zamknęli kościół, a grób ks. Kuleszy zrównali z ziemią. Zniszczyli też ustawiony w miejscu męczeństwa krzyż. Dopiero po odzyskaniu przez Białoruś niepodległości w latach 90. odzyskano kościół i odnowiono grób kapłana.

W 2003 r. w Sankt-Petersburgu ks. abp Tadeusz Kondrusiewicz, metropolita Moskwy, oficjalnie otworzył proces męczenników pomordowanych przez władze komunistyczne Związku Radzieckiego. Wśród kandydatów na ołtarze jest także ks. Eugeniusz Kulesza.